4089: 【18NOIP提高组】填数游戏

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。n这个填数游戏的棋盘是一个$n × m$的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 $0$ 或者数字 $1$），填数时需要满足一些限制。n下面我们来具体描述这些限制。n为了方便描述，我们先给出一些定义：n*我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意：行列坐标均从 $0$ 开始编号）n*合法路径 P：一条路径是合法的当且仅当：n1.这条路径从矩形表格的左上角的格子$(0,0)$出发，到矩形的右下角格子$(n − 1, m − 1)$结束；n2.在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。n例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是$p_1$：$(0,0) → (0,1) →(1,1)$和$p_2$：$(0,0) → (1,0) → (1,1)$。nn对于一条合法的路径 $P$，我们可以用一个字符串$w(P)$来表示，该字符串的长度为$n + m − 2$，其中只包含字符“$R$”或者字符“$D$”，第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法，“$R$”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“$D$”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径$p_1$，有$w(P_1) = "RD"$；而对于另一条路径$p_2$，有$w(P_2)$ = "DR"。n同时，将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为$n + m − 1$的 $01$ 字符串，记为 $s(P)$。例如，如果我们在格子$(0,0)$和$(1,0)$上填入数字$0$，在格子$(0,1)$和$(1,1)$上填入数字 $1$（见上图红色数字）。那么对于路径$p_1$，我们可以得到$s(P_1) = "011"$,对于路径$p_2$，有$s(P_2)  = "001"$。n游戏要求小 D 找到一种填数字 $0、1$ 的方法，使得对于两条路径$p_1，P_2$，如果$w(P_1) > w(P_2)$，那么必须$s(P_1) ≤ s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小，当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串$b$ 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？n小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 $0、1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对$10^9 + 7$取模的结果。

输入共一行，包含两个正整数 $n、m$，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其中 $n$ 表示矩形表格的行数，$m$ 表示矩形表格的列数。

输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填 $0、1$ 的方法能满足游戏的要求。注意：输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

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